Задача 1:

p и q – различные простые числа. Сколько делителей у числа а) pq; б) p²q; в) p²q²; г) pⁿq^m?

Задача 2:

Докажите, что произведение любых трех последовательных натуральных чисел делится на 6.

Задача 3:

Докажите, что произведение любых пяти последовательных чисел делится а) на 30; б) на 120.

Задача 4:

p – простое число. Сколько существует натуральных чисел а) меньших p и взаимно простых с ним; б) меньших p² и взаимно простых с ним?

Задача 5:

Каково наименьшее натуральное n, такое, что n! делится на 990?

Задача 6:

Может ли n! оканчиваться ровно на 5 нулей?

Задача 7:

На сколько нулей оканчивается число 100! ?

Задача 8:

Докажите, что число, имеющее нечетное число делителей, – точный квадрат.

Задача 9:

Вася написал на доске пример на умножение двух двузначных чисел, а затем заменил в нем все цифры на буквы, причем одинаковые цифры – на одинаковые буквы, а разные – на разные. В итоге у него получилось АБ • ВГ = ДДЕЕ. Докажите, что он где-то ошибся.

Задача 10:

Может ли число, записываемое при помощи 100 нулей, 100 единиц и 100 двоек, быть точным квадратом?

Задача 11:

56a = 65b. Докажите, что a + b – составное число.

Задача 12:

Решите в натуральных числах уравнение а) x² – y² = 31; б) x² – y² = 303.

Задача 13:

Решите в целых числах уравнение x³ + x² + x – 3 = 0.

Задача 14:

Докажите, что для любых натуральных чисел a и b верно равенство .