Задача 18:

Точка O лежит внутри треугольника ABC. Докажите, что AO + OC < AB + BC.

Задача 19:

Докажите, что сумма расстояний от точки O до вершин треугольника ABC меньше его периметра, если точка O лежит внутри этого треугольника. А если она лежит вне треугольника?

Задача 20:

Полуостров представляет собой тупой угол, внутри которого находится дом лесника. Как леснику, выйдя из дома, добраться до одного берега полуострова, затем до другого и вернуться домой, пройдя при этом по самому короткому пути?

Задача 21:

Докажите, что длина медианы AM треугольника ABC не превосходит полусуммы длин сторон AB и AC. Докажите также, что сумма длин медиан треугольника не превосходит его периметра.

Задача 22:

а) Треугольник A′B′C′ лежит внутри треугольника ABC. Докажите, что периметр A′B′C′ не больше периметра ABC.

б) Треугольник ABC лежит внутри выпуклого многоугольника M. Докажите, что периметр ABC не больше, чем периметр M.

в) Выпуклый многоугольник M′ лежит внутри выпуклого многоугольника M. Докажите, что периметр M′ не больше периметра M.

Задача 23:

Многоугольник, вырезанный из бумаги, сложили пополам, перегнув его по прямой. Докажите, что периметр полученного многоугольника не превосходит периметра исходного.

Задача 24:

Докажите, что в выпуклом многоугольнике не может быть трех сторон, превосходящих по длине наибольшую диагональ.

Задача 25:

Докажите, что периметр треугольника не превосходит суммы длин медиан, увеличенной в 4/3 раза. (Для решения этой задачи надо знать, в каком отношении делятся медианы точкой их пересечения).

Задача 26:

Две деревни находятся по разные стороны от реки, берега которой – параллельные прямые. В каком месте реки необходимо построить мост, перпендикулярный берегам так, чтобы длина пути из одной деревни в другую была бы минимальна?

Задача 27:

Докажите, что в выпуклом пятиугольнике (т.е. в таком, у которого все диагонали лежат внутри самого пятиугольника) найдутся три диагонали, из которых можно составить треугольник.