Задача 1:

Докажите, что для любых трех точек A, B и C на плоскости выполнено неравенство AC ≥ |AB – BC|.

Задача 2:

Длина стороны AC треугольника ABC равна 3,8, длина стороны AB – 0,6. Известно, что длина стороны BC – целое число. Какова эта длина?

Задача 3:

Докажите, что длина любой стороны треугольника не превосходит его полупериметра.

Задача 4:

От Ленинграда до Москвы 660 км, от Ленинграда до деревни Лыково – 310 км, от Лыково до Клина – 200 км, и от Клина до Москвы – 150 км. Каково расстояние от Лыково до Москвы?

Задача 5:

В стране 4 города: A, B, C и D. Два самолета одновременно вылетели из города A. Маршрут первого: A-B-D-C-A-D-B-C-A, а маршрут второго: A-B-C-D-A-B-C-D-A-B-C-D-A. Какой из самолетов раньше закончит свой маршрут, если их скорости одинаковы?

Задача 6:

Найдите внутри выпуклого четырехугольника точку, такую, что сумма расстояний от нее до вершин минимальна.

Задача 7:

На плоскости дан квадрат ABCD и точка O. Докажите, что расстояние от точки O до одной из вершин квадрата не превосходит суммы расстояний от O до трех других вершин квадрата.

Задача 8:

Докажите, что в выпуклом четырехугольнике сумма длин диагоналей больше его полупериметра и меньше периметра.

Задача 9:

Докажите, что в выпуклом пятиугольнике сумма длин диагоналей больше периметра и меньше удвоенного периметра.

Задача 10:

Внутри треугольника взяли две произвольные точки. Докажите, что расстояние между ними не превосходит полупериметра треугольника.