Задача 64:

Если каждый мальчик купит пирожок, а каждая девочка – булочку, то они потратят вместе на одну копейку меньше, чем если бы каждый мальчик купил булочку, а каждая девочка – пирожок. Известно, что мальчиков больше, чем девочек. На сколько?

Задача 65:

175 Шалтаев стоят дороже, чем 125, но дешевле, чем 126 Болтаев. Докажите, что на трех Шалтаев и одного Болтая рубля не хватит.

Задача 66:

В классе каждый мальчик дружит с тремя девочками, а каждая девочка – с двумя мальчиками. При этом в классе всего 19 парт и 31 пионер. Сколько в классе учеников?

Задача 67:

Две команды разыграли первенство школы в десяти видах, причем за победу команда получала 4 очка, за ничью – 2 и за проигрыш – 1 очко. Вместе обе команды набрали 46 очков. Сколько было ничьих?

Задача 68:

Четверо товарищей купили вместе лодку. Первый внес половину суммы, внесенной остальными; второй – треть суммы, внесенной остальными; третий – четверть суммы, внесенной остальными, а четвертый внес 130 рублей. Сколько стоит лодка и сколько внес каждый?

Задача 69:

На дороге, соединяющей два аула, нет горизонтальных участков. Автобус идет в гору всегда со скоростью 15 км/ч, а под гору – 30 км/ч. Найдите расстояние между аулами, если известно, что путь туда и обратно автобус проезжает за 4 часа.

Задача 70:

Существуют ли такие натуральные a и b, что ab(a – b) = 45045?

Задача 71:

Обозначим сумму трех последовательных натуральных чисел через a, а сумму трех следующих за ними натуральных чисел – через b. Может ли произведение ab равняться 111111111?

Задача 72:

Докажите, что последняя ненулевая цифра числа 1985! четна.

Задача 73:

Натуральные числа x и y таковы, что 34x = 43y. Докажите, что число x + y – составное.

Задача 74:

Существуют ли такие целые числа a и b, отличные от нуля, что одно из них делится на их сумму, а другое – на их разность?

Задача 75:

Простые числа p и q и натуральное число n удовлетворяют соотношению

Найдите эти числа.

Задача 76:

Докажите, что натуральное число, десятичная запись которого состоит из одной единицы, двух двоек, трех троек, …, девяти девяток, не может быть точным квадратом.

Задача 77:

Каждое из натуральных чисел a, b, c и d делится на ab – cd. Докажите, что ab – cd равно 1 или  – 1.

Задача 78:

В стране Анчурии в обращении имеются купюры четырех достоинств: 1 доллар, 10 долларов, 100 долларов, 1000 долларов. Можно ли отсчитать миллион долларов так, чтобы получилось ровно полмиллиона купюр?

Задача 79:

На доске написано число 1. Каждую секунду к числу на доске прибавляют сумму его цифр. Может ли через некоторое время на доске появиться число 123456?

Задача 80:

Докажите, что число 3999991 не является простым.

Задача 81:

а) Найдите семизначное число, все цифры которого различны и которое делится на все эти цифры.

б) Существует ли такое восьмизначное число?

Задача 82:

У числа 19¹ºº вычисляют сумму цифр, после этого у полученного числа подсчитывают сумму цифр и так далее, до тех пор, пока не получится однозначное число. Какое оно?

Задача 83:

Докажите, что остаток от деления простого числа на 30 – простое число или единица.

Задача 84:

Существует ли натуральное число, произведение цифр которого равно 1980?

Задача 85:

Некоторое число оканчивается на 2. Если эту цифру перенести в начало числа, то число удвоится. Найдите наименьшее такое число.

Задача 86:

Дано шестизначное число , причем делится на 7. Докажите, что и само число делится на 7.

Задача 87:

Найдите минимальное натуральное число, которое в 4 раза меньше числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке.

Задача 88:

Дано трехзначное число, у которого первая и последняя цифры разнятся не менее, чем на 2. Составляется разность этого числа и числа ему обращенного (т.е. числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке). К результату прибавляется число ему обращенное. Докажите, что полученная сумма равна 1089.

Задача 89:

Что больше: 2³ºº или 3²ºº?

Задача 90:

Что больше: 31¹¹ или 17¹⁴?

Задача 91:

Что больше: 50⁹⁹ или 99! ?

Задача 92:

Что больше: 888 … 88 × 333 … 33 или 444 … 44 × 666 … 67 (каждое из чисел записано 1989 цифрами)?

Задача 93:

Каких 6-значных чисел больше: тех, которые представляются в виде произведения двух трехзначных чисел, или остальных?

Задача 94:

Дано несколько одинаковых картонных треугольников. В вершинах каждого из них написаны числа 1, 2 и 3. Треугольники сложены в ровную стопку. Может ли оказаться так, что суммы чисел вдоль каждого вертикального ребра стопки равны 55?

Задача 95:

Можно ли расположить по окружности 15 целых чисел так, чтобы сумма любых четырех чисел подряд равнялась 1 или 3?

Задача 96:

Найдите тысячу натуральных чисел таких, что их сумма равна их произведению.

Задача 97:

Подряд выписаны числа 2¹⁹⁸⁹ и 5¹⁹⁸⁹. Сколько всего выписано цифр?

Задача 98:

Автобусный билет называется счастливым, если сумма первых его трех цифр равна сумме трех последних. Докажите, что счастливых билетов столько же, сколько билетов с суммой всех шести цифр, равной 27.