Задача 24:

Докажите, что любое натуральное число сравнимо со своей последней цифрой по модулю а) 10; б) 2; в) 5.

Задача 25:

Докажите, что .

Задача 26:

Сформулируйте и докажите признаки делимости на 2ⁿ и 5ⁿ.

Задача 27:

Последняя цифра квадрата натурального числа равна 6. Докажите, что его предпоследняя цифра нечетна.

Задача 28:

Предпоследняя цифра квадрата натурального числа – нечетная. Докажите, что его последняя цифра 6.

Задача 29:

Докажите, что степень двойки не может оканчиваться четырьмя одинаковыми цифрами.

Задача 30:

Найдите 100-значное число без нулевых цифр, которое делится на сумму своих цифр.

Задача 31:

Докажите, что любое натуральное число сравнимо с суммой своих цифр по модулю а) 3; б) 9.

Задача 32:

Можно ли записать точный квадрат, использовав по 10 раз цифры а) 2, 3, 6; б) 1, 2, 3 ?

Задача 33:

У числа 2¹ºº нашли сумму цифр, у результата снова нашли сумму цифр и т.д. В конце концов получилось однозначное число. Найдите его.

Задача 34:

Докажите, что если записать в обратном порядке цифры любого натурального числа, то разность исходного и нового числа будет делиться на 9.

Задача 35:

К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.

Задача 36:

Сколько имеется четырехзначных чисел, которые делятся на 45, а две средние цифры у них – 97?

Задача 37:

Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 36, в записи которого встречаются все 10 цифр.

Задача 38:

Докажите, что произведение последней цифры числа 2ⁿ и суммы всех цифр этого числа, кроме последней, делится на 3.

Задача 39:

Может ли сумма цифр точного квадрата равняться 1970?

Задача 40:

Из трехзначного числа вычли сумму его цифр. С полученным числом проделали то же самое и так далее, 100 раз. Докажите, что в результате получится нуль.

Задача 41:

Пусть A – сумма цифр числа 4444⁴⁴⁴⁴, а B – сумма цифр числа A. Найдите сумму цифр числа B.

Задача 42:

Докажите, что

Задача 43:

Докажите, что число 111 … 11 (2n единиц) – составное.

Задача 44:

Докажите, что число – составное.

Задача 45:

Пусть a, b, c, d – различные цифры. Докажите, что не делится на .

Задача 46:

A – шестизначное число, в записи которого по одному разу встречаются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. Докажите, что A не делится на 11.

Задача 47:

Докажите, что разность числа, имеющего нечетное количество цифр, и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 99.

Задача 48:

Можно ли составить из цифр 2, 3, 4, 9 (каждую цифру можно использовать сколько угодно раз) два числа, одно из которых в 19 раз больше другого?

Задача 49:

Сумма двух цифр a и b делится на 7. Докажите, что число также делится на 7.

Задача 50:

Сумма цифр трехзначного числа равна 7. Докажите, что это число делится на 7 тогда и только тогда, когда две его последние цифры равны.

Задача 51:

а) Дано шестизначное число , причем делится на 7. Докажите, что и само число делится на 7.

б) Сформулируйте и докажите признак делимости на 7.

в) Сформулируйте и докажите признак делимости на 13.

Задача 52:

а) Дано шестизначное число , причем делится на 37. Докажите, что и само число делится на 37.

б) Сформулируйте и докажите признак делимости на 37.

Задача 53:

Существует ли такое трехзначное число , что является квадратом натурального числа?

Задача 54:

Найдите наименьшее число, записываемое одними единицами, делящееся на 333 … 33 (в записи 100 троек).

Задача 55:

Может ли сумма нескольких первых натуральных чисел оканчиваться на 1989?

Задача 56:

Найдите все натуральные числа, которые увеличиваются в 9 раз, если между цифрой единиц и цифрой десятков вставить ноль.

Задача 57:

Между цифрами двузначного числа, кратного трем, вставили нуль, и к полученному трехзначному числу прибавили удвоенную цифру его сотен. Получилось число, в 9 раз большее первоначального. Найдите исходное число.

Задача 58:

Найдите четырехзначное число, являющееся точным квадратом, первые две цифры которого равны между собой и последние две цифры которого также равны между собой.

Задача 59:

Найдите все трехзначные числа, каждая натуральная степень которых оканчивается на три цифры, составляющие первоначальное число.

Задача 60:

К числу справа приписывают тройки. Докажите, что когда-нибудь получится составное число.

Задача 61:

Докажите, что все числа ряда 10001,100010001,1000100010001, …  являются составными.