Задача 1:

Докажите, что a ≡ b (mod m) тогда и только тогда, когда a – b делится на m.

Задача 2:

Если a ≡ b (mod m) и c ≡ d (mod %)%m, то a + c ≡ b + d (mod %)%m.

Задача 3:

Если a ≡ b (mod %)%m и c ≡ d (mod %)%m, то a – c ≡ b – d (mod %)%m.

Задача 4:

Если a ≡ b (mod %)%m и c ≡ d (mod %)%m, то ac ≡ bd (mod %)%m.

Задача 5:

Если a ≡ b (mod %)%m, n – натуральное число, то aⁿ ≡ bⁿ (mod %)%m.

Задача 6:

Докажите, что n² + 1 не делится на 3 ни при каком целом n.

Задача 7:

Найдите остаток от деления 6¹ºº на 7.

Задача 8:

Докажите, что 30⁹⁹ + 61¹ºº делится на 31.

Задача 9:

Докажите, что

а) 43¹º¹ + 23¹º¹ делится на 66.

б) aⁿ + bⁿ делится на a + b, если n – нечетное число.

Задача 10:

Докажите, что 1ⁿ + 2ⁿ +  …  + (n – 1)ⁿ делится на n при нечетном n.

Задача 11:

Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде суммы трех точных кубов.

Задача 12:

Докажите, что ни одно из чисел вида 10^3n + 1 нельзя представить в виде суммы двух кубов натуральных чисел.

Задача 13:

Докажите, что среди 51 целого числа найдутся два, квадраты которых дают одинаковые остатки при делении на 100.

Задача 14:

Назовем натуральное число n удобным, если n² + 1 делится на 1000001. Докажите, что среди чисел 1, 2, …, 1000000 четное число удобных.

Задача 15:

а) Может ли квадрат натурального числа оканчиваться на 2?

б) Можно ли, используя только цифры 2, 3, 7, 8 (возможно, по несколько раз), составить квадрат натурального числа?

Задача 16:

Какое число нужно добавить к числу (n² – 1)¹ººº • (n² + 1)¹ºº¹, чтобы результат делился на n?

Задача 17:

Найдите остаток от деления на 7 числа 10¹º + 10¹ºº + 10¹ººº +  …  + 10¹ºººººººººº.

Задача 18:

Сколько существует натуральных чисел n, меньших 10000, для которых 2ⁿ – n² делится на 7?

Задача 19:

Обозначим через k произведение нескольких (больше одного) первых простых чисел. Докажите, что число а) k – 1; б) k + 1 не является точным квадратом.

Задача 20:

Существует ли такое натуральное n, что n² + n + 1 делится на 1955?

Задача 21:

Докажите, что 11^n + 2 + 12^2n + 1 делится на 133 при любом натуральном n.

Задача 22:

Пусть n – натуральное число такое, что n + 1 делится на 24. Докажите, что сумма всех натуральных делителей n делится на 24.

Задача 23:

Последовательность a₁, a₂, a₃, … натуральных чисел такова, что a_n + 2 = a_n + 1a_n + 1 при всех n.

а) a₁ = a₂ = 1. Докажите, что ни один из членов последовательности не делится на 4.

б) Докажите, что a_n – 22 – составное число при любом n > 10.