Задача 1:

Докажите, что при b + c > a, a + c > b, a + b > c, где a, b и c – положительные числа, существует треугольник со сторонами a, b и c.

Задача 2:

Докажите, что медиана AM в треугольнике ABC по длине больше, чем (AB + AC – BC)/2.

Задача 3:

Докажите, что из отрезков длины a, b и c можно составить треугольник тогда и только тогда, когда есть такие положительные x, y, z, что a = x + y, b = y + z, c = x + z.

Задача 4:

Докажите, что если AB = AC, то углы ABC и ACB равны.

Задача 5:

В треугольнике ABC длина медианы AM больше половины длины BC. Докажите, что угол BAC – острый.

Задача 6:

Докажите, что если из отрезков длины a, b и c можно составить треугольник,то его можно составить и из отрезков длины , , .

Задача 7:

ABCD – выпуклый 4-угольник, причем AB + BD < AC + CD. Докажите, что AB < AC.

Задача 8:

Центры трех непересекающихся кругов расположены на одной прямой. Докажите, что если окружность касается всех кругов, то ее радиус больше радиуса одного из них.

Задача 9:

Пусть ABCD и A₁B₁C₁D₁ – два выпуклых 4-угольника с соответственно равными сторонами. Докажите, что если  ∠ A >  ∠ A₁, то  ∠ B <  ∠ B₁,  ∠ C >  ∠ C₁,  ∠ D <  ∠ D₁.

Задача 10:

Докажите, что медиана треугольника, заключенная между двумя его неравными сторонами, образует больший угол с меньшей из двух этих сторон.

Задача 11:

Могут ли в прямолинейной пятиконечной звезде ABCDEFGHIK выполняться неравенства: AB > BC, CD > DE, EF > FG, GH > HI, IK > KA?

Задача 12:

Дан равнобедренный треугольник ABC с углом при вершине B, равным 20 градусов. Докажите, что а) AB < 3AC; б) AB > 2AC.

Задача 13:

Периметр пятиконечной звезды с вершинами в вершинах выпуклого пятиугольника Ф, периметр самого Ф, и периметр внутреннего пятиугольника звезды – простые числа. Докажите, что их сумма не меньше 20.

Задача 14:

На каждой стороне квадрата отмечено по точке. Докажите, что периметр образованного ими четырехугольника не меньше удвоенной длины диагонали квадрата.