Задача 40:

Длины сторон выпуклого четырехугольника равны a, b, c и d (перечислены по часовой стрелке). Докажите, что площадь четырехугольника не превосходит а) (ab + cd)/2; б) (a + b)(c + d)/4.

Задача 41:

Могут ли длины высот треугольника относиться друг к другу как 1:2:3?

Задача 42:

Треугольник площади 1 имеет стороны с длинами a, b и c, причем a ≥ b ≥ c. Докажите, что .

Задача 43:

Могут ли длины всех сторон треугольника площади 1 быть больше 1000?

Задача 44:

Точки K, L, M и N – середины сторон выпуклого четырехугольника ABCD. Докажите, что 2S(KLMN) = S(ABCD).

Задача 45:

Найдите площадь выпуклого четырехугольника ABCD, если прямая AC перпендикулярна прямой BD и AC = 3, BD = 8.

Задача 46:

Дан треугольник ABC. Точка A₁ лежит на продолжении стороны BC за точку C, причем BC = CA₁. Аналогично строятся точки B₁ и C₁. Найдите S(A₁B₁C₁), если S(ABC) = 1.

Задача 47:

Точка M лежит внутри треугольника ABC. Докажите, что площади треугольников ABM и BCM тогда и только тогда, когда M лежит на медиане BK.

Задача 48:

Если два выпуклых четырехугольника расположены так, что середины сторон у них совпадают, то их площади равны. Докажите это.

Задача 49:

Диагонали трапеции ABCD (BC || AD) пересекаются в точке O. Докажите, что треугольники AOB и COD равновелики.

Задача 50:

Докажите, что сумма расстояний от точки, находящейся внутри правильного треугольника, до его сторон не зависит от положения точки.