Задача 56:

Найдите ошибку в доказательстве того, что катет равен гипотенузе. M – точка пересечения биссектрисы угла C и серединного перпендикуляра к отрезку AB; K, L и N – основания перпендикуляров, опущенных из M на стороны треугольника. Тогда треугольники AMK и MKB равны по катету и гипотенузе, и поэтому AM = MB, и треугольники ALM и MNB равны по катету и гипотенузе. Значит, AL = NB. Поэтому AC = AL + LC = NB + CN = BC.

Задача 57:

В четырехугольнике ABCD BC = AD, M – середина AD, N – середина BC. Серединные перпендикуляры к AB и CD пересекаются в точке P. Докажите, что P лежит и на серединном перпендикуляре к отрезку MN.

Задача 58:

Дан прямоугольный треугольник с острым углом 30. Докажите, что длина отрезка серединного перпендикуляра к гипотенузе, заключенного внутри треугольника, равна трети длины большего катета треугольника.

Задача 59:

В треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁, CC₁, и медианы AA₂, BB₂, CC₂. Докажите, что длина ломаной A₁B₂C₁A₂B₁C₂A₁ равна периметру треугольника ABC.