Задача 17:

Докажите, что при x ≥ 0.

Задача 18:

Докажите, что x + 1/x ≥ 2 при x > 0.

Задача 19:

Докажите, что (x² + y²)/2 ≥ xy при любых x и y.

Задача 20:

Докажите, что 2(x² + y²) ≥ (x + y)² при любых x и y.

Задача 21:

Докажите, что 1/x + 1/y ≥ 4/(x + y) при x,y > 0.

Задача 22:

Докажите, что x² + y² + z² ≥ xy + yz + zx при любых x, y, z.

Задача 23:

a, b, c ≥ 0. Докажите, что (a + b)(a + c)(b + c) ≥ 8abc.

Задача 24:

a, b, c ≥ 0. Докажите, что .

Задача 25:

Докажите, что x² + y² + 1 ≥ xy + x + y при любых x и y.

Задача 26:

Докажите, что при любых a, b, c имеет место неравенство: a⁴ + b⁴ + c⁴ ≥ abc(a + b + c).

Задача 27:

Докажите, что x⁴ + y⁴ + 8 ≥ 8xy при любых x и y.

Задача 28:

a, b, c, d – положительные числа. Докажите, что

Задача 29:

a, b, c – положительные числа. Докажите, что

Задача 30:

Докажите, что при x ≥ 0 имеет место неравенство 3x³ – 6x² + 4 ≥ 0.

Задача 31:

Докажите, что при a, b, c > 0 имеет место неравенство .

Задача 32:

Докажите, что при a, b, c > 0 имеет место неравенство ab/c + ac/b + bc/a ≥ a + b + c.

Задача 33:

Докажите, что при a, b, c ≥ 0 имеет место неравенство ((a + b + c)/3)² ≥ (ab + bc + ca)/3.

Задача 34:

Докажите, что при a, b, c ≥ 0 имеет место неравенство (ab + bc + ca)² ≥ 3abc(a + b + c).

Задача 35:

Сумма трех положительных чисел равна шести. Докажите, что сумма их квадратов не меньше 12.

Задача 36:

Докажите, что при x ≥ 0 имеет место неравенство .

Задача 37:

Сумма двух неотрицательных чисел равна 10. Какое максимальное и какое минимальное значение может принимать сумма их квадратов?

Задача 38:

Докажите неравенство Коши для пяти чисел, т.е. докажите, что при a, b, c, d, e ≥ 0 имеет место неравенство