Задача 1: Пятнадцать мальчиков собрали вместе 100 орехов. Докажите, что какие-то двое из них собрали одинаковое количество орехов.

Задача 2: 10 друзей послали друг другу праздничные открытки. Каждый послал 5 открыток. Докажите, что двое послали открытки друг другу.

Задача 3: Докажите, что в любой момент однокругового чемпионата найдутся две команды, сыгравшие одинаковое число матчей.

Задача 4: Числа 1, 2, …, 7 разбиты на две группы. Докажите, что произведение чисел хотя бы в одной из групп меньше 72.

Задача 5: Цифры 1, 2, …, 9 разбили на 3 группы. Докажите, что произведение чисел в хотя бы одной группе меньше 72.

Задача 6: Докажите, что из любых 10 чисел можно выбрать несколько, сумма которых делится на 10.

Задача 7: Докажите, что из 65 целых чисел всегда можно найти ровно 9 таких, сумма которых делится на 9.

Задача 8: Докажите, что из 65 целых чисел либо найдутся 9 таких, что каждое из чисел этой девятки, кроме последнего, делится на число, стоящее за ним, либо найдется девять таких чисел, что ни одно из них не делится на другое.

Задача 9: Верно ли, что среди любых 34 разных натуральных чисел, не превосходящих 50, всегда можно выбрать два числа, одно из которых вдвое больше другого?

Задача 10: Докажите, что из 26 различных натуральных чисел, не превосходящих 50, всегда можно выбрать два числа, одно из которых делится на другое.

Задача 11: Попробуйте обобщить предыдущую задачу, если вместо 50 в условии будет стоять произвольное чётное число 2N. (Какое число должно стоять вместо числа 26?)

Задача 12: Дано 20 различных натуральных чисел, меньших 70. Рассматриваются всевозможные их попарные разности (из большего числа вычитают меньшее). Докажите, что среди них всегда найдутся четыре одинаковых.

Задача 13: В последовательности 2, 0, 0, 0, 2, 2, 4,…каждый член, начиная с пятого, равен последней цифре суммы предшествующих четырёх членов. а) Встретятся ли в этой последовательности еще раз подряд 4 цифры 2, 0, 0, 0? б) Встретятся ли в ней четыре подряд цифры 0, 0, 8, 2 ?