Задача 1: Коридор длины 6 м покрыт тремя трёхметровыми ковровыми дорожками, причём нигде дорожки не лежат в три слоя. Докажите, что какие-то две из них перекрываются не меньше, чем на 1,5 м.

Задача 2: Окружность длины 6 м покрыта тремя трёхметровыми дугами, причём никакие три дуги не имеют общих точек. Докажите, что какая-то пара дуг имеет пересечение не меньше, чем 1 м.

Задача 3: В комнате площадью 6 кв.м постелены на полу три ковра площади 3 кв.м каждый. Верно ли, что какие-нибудь 2 из них пересекаются по площади, не меньшей 1 кв.м.?

Задача 4: В комнате площадью 6 кв.м постелены на полу три ковра площади S кв.м каждый. Известно, что S > 2. Докажите, что какие-нибудь 2 из них пересекаются по площади, не меньшей S – 2 кв.м.

Задача 5: В комнате площадью 6 кв.м на полу постелены 4 ковра площади 2 кв.м каждый. Верно ли, что какие-то два из них обязательно перекрываются по площади, не меньшей 1 кв.м?

Задача 6: Внутри квадрата со стороной 1 расположены 4 прямоугольника, площадь каждого из которых не менее 1/2. Докажите, что хотя бы два из них имеют общую часть площади не менее 1/6.

Задача 7: На кафтане площади 1 расположены 4 заплаты, площадь каждой из которых не менее 5/8. Докажите, что какие-то две из них имеют общую часть площади не менее 1/3.

Задача 8: На спортивные соревнования в ЛМШ ходили 220 школьников. При этом некоторые из них участвовали в чемпионатах, а остальные были зрителями. В легкоатлетической эстафете приняли участие 30 человек, в соревнованиях по волейболу – 26, пионерболу – 32, футболу – 31, шахматам – 28 и теннису – 36 человек. 53 школьника приняли участие более чем в одном соревновании; из них 24 школьника участвовали 3 или более раз, 9 школьников – не менее 4 раз и 3 школьника – даже 5 раз (в последнюю тройку входит и один чудак, который выступал во всех шести соревнованиях). Сколько из школьников были зрителями?

Задача 9: На кафтан площади 1 поставлены 5 заплат. Площадь каждой из них равна 1/2. Докажите, что найдутся две заплаты, пересекающиеся по площади не менее 1/5.

Задача 10: На кафтане площади 1 имеется 5 заплат площади 1/3. Докажите, что найдутся такие две заплаты, площадь общей части которых не меньше 1/15.

Задача 11: На кафтане площади 1 имеется 9 заплат площади 1/5. Докажите, что найдутся такие две заплаты, площадь общей части которых не меньше 1/45.