Задача 1: Поле для игры в «морской бой» имеет форму квадрата размером 8 × 8 клеток. На нем стоит один корабль, имеющий форму прямоугольника 1 × 4. В клетках поля можно установить детекторы, показывающие, накрывает ли корабль эту клетку. Какое наименьшее число клеток нужно снабдить такими детекторами, чтобы по их показаниям можно было однозначно определить положение корабля?

Задача 2: а) Стороны и диагонали шестиугольника раскрасили в два цвета. Докажите, что образовался хотя бы один одноцветный треугольник, вершины которого совпадают с вершинами шестиугольника.

б) Как раскрасить стороны и диагонали пятиугольника в два цвета так, чтобы не образовалось ни одного одноцветного треугольника?

Задача 3: Про учеников школы, которые участвовали в районной олимпиаде, известно:

1) 7 из них справились с задачами и по математике и по физике;

2) 11 из них справились с задачами по математике;

3) 9 из них справились с задачами по физике.

Сколько учеников принимали участие в районной олимпиаде и справились хоть с чем-нибудь?

Задача 4: Из A в B выехал мотоциклист, и одновременно навстречу ему из B в A выехал велосипедист. Через 20 минут после начала движения мотоциклист проехал на 2 км больше половины пути, а еще через 10 минут после этоговелосипедисту осталось проехать 3 км до середины пути. Через сколько минут после начала движения встретились мотоциклист и велосипедист?

Задача 5: В фирме «Рога и копыта» работает 1111 сотрудников. Каждый из них обязан отработать на уборке территории 7 дней подряд в году. Доказать, что а) существовал хотя бы один день, когда на уборке территории работало нечётное число сотрудников; б) таких дней существовало как минимум 7.

Задача 6: Найти хотя бы одно натуральное число, которое оканчивается на 17, делится на 17 и имеет сумму цифр, равную 17.

Задача 7: Два мудреца написали на карточках числа от 5 до 11 и перемешали их, после чего первый взял себе три из них, второй – две, а оставшиеся две мудрецы спрятали в мешок. Первый, посмотрев на свои карточки, воскликнул: «Я точно знаю, что сумма чисел на твоих карточках чётна!» Какие числа написаны на карточках первого?