Задача 1:

Юра задумал число, умножил его на 13 и зачеркнул последнюю цифру результата. Полученное число Владик умножил на 7, вновь зачеркнул последнюю цифру результата и получил 21. Каким могло быть задуманное число? Не забудьте привести все возможные варианты.

Задача 2:

В некоторой компании все, кроме одного, родились в 1988 году или в июне, все, кроме одного, – в 1989 году или в июле, и все, кроме одного, – в 1990 году или в августе. Сколько человек в этой компании?

Задача 3:

Фигуру, изображённую на рисунке, разрежьте на две части так, чтобы из них можно было сложить прямоугольник.

Задача 4:

Прямоугольник разделён двумя вертикальными и двумя горизонтальными разрезами на девять прямоугольных частей. Площади некоторых из них указаны на рисунке. Найдите площадь верхней правой части. Ответ обоснуйте.

Задача 5:

50 детей водят хоровод, держась за руки. Докажите, что найдутся хотя бы два ребёнка, каждый из которых держит за руки либо двух мальчиков, либо двух девочек.

Задача 6:

На девяти карточках написаны числа от 1 до 9. Два игрока по очереди берут по одной карточке. Выигрывает тот, кто первым сможет составить с помощью своих карточек, знаков « + », « – ", « × ", «:" и скобок арифметическое выражение, значение которого равно 50. Составлять из карточек многозначные числа не допускается. Кто выигрывает при правильной игре и как ему следует играть?

Задача 7:

a, b, c – нечётные натуральные числа, не являющиеся квадратами. Может ли число a^b • b^c • c^a быть полным квадратом?

Задача 8:

90 яблок разложены по нескольким ящикам. Докажите, что можно съесть часть яблок так, чтобы во всех непустых ящиках осталось поровну яблок, а общее число оставшихся яблок было не менее 20.

Задача 9:

Константин Александрович выписал на доске 6930 единиц. Вначале он изменил знак у каждого 5-го числа, затем – у каждого 7-го, после этого – у каждого 9-го, и, наконец, у каждого 22-го. А теперь он спрашивает вас: какова сумма чисел, записанных на доске?