Задача 1: Пусть a – целое, b – натуральное число. Тогдаa можно единственным образом представить в виде a = kb + r, где k и r – целые, 0 ≤ r < b.

Задача 2:

x = 100k – 16, k – целое. Чему равны частное и остаток при делении x а) на 100; б) на 5?

Задача 3: Делимое и делитель увеличили в три раза. Как изменятся неполное частное и остаток?

Задача 4: Разность двух чисел делится на b. Докажите, что числа дают одинаковые остатки при делении на b.

Задача 5: Докажите, что остаток от деления простого числа на 30 – простое число или 1.

Задача 6: Пусть число a₁ дает при делении на b остаток r₁, число a₂ – остаток r₂. Тогда

а) (сложение остатков) Число a₁+a₂ при делении на b дает тот же остаток, что и число r₁ + r₂.

б) (вычитание остатков) Число a₁ – a₂ при делении на b дает тот же остаток, что и число r₁ – r₂.

в) (умножение остатков) Число a₁a₂ при делении на b дает тот же остаток, что и число r₁r₂.

Задача 7: Докажите, что натуральное число сравнимо а) со своей суммой цифр по модулю 9; б) со своей знакочередующейся суммой цифр по модулю 11.

Задача 8: Докажите, что делится на 24 а) произведение 4 последовательных целых чисел; б) разность квадратов двух простых чисел, больших 3.

Задача 9: (правило сокращения) Пусть m и b – взаимно просты. Тогда .

Задача 10: Найдите все такие x, что 19x оканчивается на 99.

Задача 11: В прямоугольном треугольнике все стороны целые. Докажите, что его площадь делится на 6.

Задача 12: Можно ли клетчатый квадрат 1999 × 1999 разрезать по границам клеток на 10000 прямоугольников с равными диагоналями?

Задача 13: Может ли сумма 13 точных квадратов быть точным квадратом?

Задача 14: Пусть m не делится на простое число p. Тогда

1. Числа m, 2m, 3m, , (p – 1)m дают различные остатки по модулю p.
2. Числа (p – 1)! и m^p – 1(p – 1)! дают одинаковые остатки при делении на p.

   (малая теорема Ферма).