Задача 1: По кругу расставлены числа 12, 7, 23, 45, 13, 5. За один ход можно прибавить или отнять одно и то же число (не обязательно целое) от двух стоящих рядом чисел. Можно ли за несколько ходов получить числа 7, 13, 4, 1,5, 12?

Задача 2: Разменный автомат меняет одну монету на пять других. Можно ли с его помощью разменять одну монету на 26 монет?

Задача 3: На доске написаны числа от 1 до 20. Можно стереть любые два числа a и b и записать число а) a + b; б) ab; в) a + b – 2. Какое число получится в итоге?

Задача 4: В столовой стоят 50 стаканов, из них 25 – вверх дном. Сможет ли дежурный, переворачивая по 4 стакана, получить все стаканы стоящими правильно, то есть на донышке?

Задача 5:

На доске написаны числа 1,2, … ,1999. Разрешается стереть любые два числа и написать вместо них разность этих чисел. Можно ли добиться того, чтобы все числа на доске были нулями?

Задача 6: На шахматной доске разрешается за один ход перекрашивать все клетки в одной строке или в одном столбце. Может ли после нескольких ходов остаться ровно одна белая клетка?

Задача 7: В алфавите языка племени УЫУ две буквы: У и Ы, причем этот язык обладает интересным свойством: если из слова выкинуть стоящие рядом буквы УЫ и УЫУУ, то смысл слова не изменится. Точно так же смысл слова не меняется при добавлении в любое место слова буквосочетаний УУ, ЫЫУУЫЫ и УЫЫУ. Можно ли утверждать, что слова УЫЫ и УЫУЫ имеют одинаковый смысл?

Задача 8: 6 детей из 6-го класса стоят по кругу, и на каждом из них сидит комар. Время от времени какие-то 2 комара перелетают на соседнего ребенка – один по часовой стрелке, а другой – против. Могут ли все комары собраться на одном несчастном?

Задача 9: Алеша Попович, Добрыня Никитич и Илья Муромец играют в игру. По очереди они приезжают к Змею Горынычу и срубают ему головы. Алеша может срубить 1 или 3 головы, Добрыня – 1 или 6 голов, а Илья – 9 или 10 голов. Если Змею срубить всего одну голову, то у него заново вырастает 4 головы. Выигрывает тот, кто уложит Змея. Кто выигрывает при правильной игре, если у Змея: а)  1999; б) 2000; в) 2001 голова?

Задача 10: В вершинах правильного 12-угольника расставлены числа  + 1 и  – 1 так, что во всех вершинах, кроме одной, стоят  + 1. Разрешается менять знак в любых k подряд идущих вершинах. Можно ли такими действиями добиться того, чтобы единственное число  – 1 сдвинулось в соседнюю с исходной вершину при а) k = 3; б) k = 4; в) k = 6; г) k = 11?

Задача 11: На острове Серобуромалин обитают 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Если встречаются 2 хамелеона разного цвета, то они одновременно меняют свой цвет на третий. Может ли случиться, что через некоторое время все хамелеоны будут одного цвета?

Задача 12: Квадратное поле разбито на 100 одинаковых участков, 9 из которых поросли бурьяном. Известно, что бурьян за год распространяется на те и только те участки, у которых не менее 2-х соседних (то есть имеющих общую сторону)  участков уже поросли бурьяном. Докажите, что поле никогда не зарастет бурьяном полностью.

Задача 13: Три кузнечика на плоскости (не находящиеся на одной прямой) играют в чехарду. Каждую секунду один из них прыгает через какого-то другого. Могут ли они через 25 секунд оказаться на своих первоначальных местах?