Задача 1: Клетки шахматной доски n × n раскрашены в синий и желтый цвета. Докажите, что либо ладья может пройти по синим клеткам с нижнего края на верхний, либо король может пройти с левого края на правый по желтым клеткам (то есть из двух возможностей всегда есть ровно одна!)

Задача 2: Если существуют две непересекающиеся ломаные внутри квадрата, одна из которых соединяет верхнюю сторону с нижней, а вторая – правую с левой, то существует неожиданная раскраска некоторой шахматной доски.

Задача 3: Если внутри квадрата проведены две ломаные, одна из которых соединяет верхнюю сторону с нижней, а вторая – правую с левой, то эти ломаные пересекаются.

Задача 4: Докажите, что игра в гекс не может закончится вничью.

Задача 5: Клетки шахматной доски n × n раскрашены в синий и желтый цвета. Докажите, что ферзь может выбрать цвет так, что он мог гулять по всем клеткам этого цвета, не наступая на клетки другого цвета (перепрыгивать можно!).

Задача 6: Шах разбил свой квадратный одноэтажный дворец на 64 одинаковые квадратные комнаты, разделил комнаты на квартиры (проделав двери в некоторых перегородках между комнатами) и в каждой квартире поселил по жене. Жены могут ходить по всем комнатам своей квартиры, не заходя к другим. Известно однако, что в каждой комнате есть стенка, общая с какой-нибудь другой квартирой. Какое наименьшее число жен может быть у шаха?