Задача 1: При каких натуральных n можно числа от 1 до n разбить на две группы так, чтобы сумма чисел одной группы была равна произведению чисел другой группы? (группа может состоять и из одного числа.)

Задача 2: Можно ли разбить все действительные числа на два множества A и B так, чтобы разность любых двух чисел из первого множества была рациональна, а разность любых двух чисел из множества B была бы иррациональна?

Задача 3: Существует ли такое 2000-значное составное число, которое при замене любой тройки соседних цифр на произвольную тройку цифр остается составным?

Задача 4: Можно ли разрезать квадрат на треугольники так, чтобы каждый граничил (по отрезку) ровно с четырьмя другими?

Задача 5: a и b – различные натуральные числа, большие 1, и a² + b – 1 делится на b² + a – 1. Докажите, что число b² + a – 1 имеет хотя бы два различных простых делителя.

Задача 6: У преподавателя есть n выражений A₁, A₂, …A_n, которые, на самом деле, равны. Каждый урок преподаватель рассказывает доказательство какого-нибудь одного неравенства вида A_i ≥ A_j. Он никогда не доказывает неравенства, если оно следует из уже ранее доказанных. Какое наибольшее число уроков может занять преподаватель такими доказательствами?

Задача 7: Кровожадный султан объявил, что «переаттестация» Совета Мудрецов будет происходить так: мудрецы должны выстроиться в колонну в алфавитном порядке, после чего каждому наденут колпак одного из двух цветов - синего или желтого. Все мудрецы подслеповаты, поэтому могут видеть цвета колпаков только у семи впереди стоящих мудрецов (но никто не увидит цвета своего колпака и колпаков у тех, кто стоит сзади). Каждую минуту по удару гонга кто-нибудь один из мудрецов должен выкрикнуть один из цветов. Каждый мудрец может выкрикнуть цвет только один раз, а если кто-то выкрикнет что-то постороннее, крикнут одновременно несколько или не крикнет никто, то казнят всех. По окончании процедуры султан казнит всех мудрецов, которые выкрикнули цвет, не совпадающий с цветом своего колпака.

Задача 8: Накануне все 100 членов Совета Мудрецов стали договариваться, как им, не нарушая правил, передать информацию о цвете колпаков друг другу и что какой выкрик в каждой ситуации будет обозначать. Как им надо действовать, чтобы гарантированно спаслись все, кроме, быть может, троих?

Задача 9: Назовем расстоянием между клетками наименьшее число ходов короля между ними. Вначале в противоположных углах доски 8 × 8 стоят черный и белый короли. Двое играющих по очереди каждым ходом сдвигают короля на соседнее свободное поле, но так, чтобы расстояние между королями не увеличилось (однако короли могут стоять рядом). Выигрывает тот, кто первым дойдет до противоположного края. Может ли кто-нибудь из игроков выигрывать независимо от игры противника, и если да, то кто?

Задача 10: Точка D лежит на основании AC равнобедренного треугольника ABC. Точки E и F таковы, что середина отрезка DE лежит на отрезке AB, середина отрезка DF лежит на отрезке BC и  ∠ EDA =  ∠ FDC. Середина отрезка EF точка K лежит внутри треугольника ABC. Докажите, что  ∠ ABD =  ∠ CBK.

Задача 11: На бесконечной клетчатой плоскости в виде квадрата 10 × 10 стоят 100 фишек. Эти фишки переставили так, что соседние по стороне фишки остались соседними, причем никакие две фишки не попали в одну клетку. Докажите, что фишки вновь стоят в виде квадрата.