Задача 1: Фигура «верблюд» ходит по доске 10 × 10 на три клетки по вертикали и одну по горизонтали, или на три по горизонтали и одну по вертикали. Можно ли пройти «верблюдом» с какого-то исходного поля на соседнее с ним по стороне?

Задача 2: По кругу расставлены числа 12,7,23,45,13,5. За один ход можно прибавить или отнять одно и то же число от двух стоящих рядом чисел. Можно ли за несколько ходов получить числа 7,13,4,2,5,12?

Задача 3: В каждой клетке на доске 7 × 7 сидит жук. По команде все жуки переползают на соседние по стороне клетки. Доказать, что после этого какая-то клетка останется пустой.

Задача 4: Дети и преподаватели 7-го класса стоят на линейке в виде квадрата 9 × 9, и у каждого из них пьет кровь комар. В момент подъема флага все комары взлетают и садятся на соседнего по диагонали человека. Докажите, что после такого массового перелета по крайней мере девятерых страдальцев никто не будет кусать.

Задача 5: Докажите, что доску 8 × 8 нельзя замостить 15 фигурками 1 × 4 и одной фигуркой из четырех клеток в форме буквы «Г».

Задача 6: ЛМыШонок ест куб сыра 3 × 3 × 3, съедая за один присест один кубик 1 × 1 × 1. После того, как кубик съеден, ЛМыШонок переходит к соседнему с ним по грани кубику. Может ли этот зверь съесть весь сыр без центрального кубика.

Задача 7: В трех вершинах квадрата находятся 3 кузнечика, играющие в чехарду. При этом если кузнечик A прыгает через кузнечика B, то после прыжка он оказывается на том же расстоянии от него, но по другую сторону и на той же прямой. Может ли после нескольких прыжков один из кузнечиков попасть в четвертую вершину квадрата?

Задача 8: Дно прямоугольной коробки выложено плитками 2 × 2 и 1 × 4. Плитки высыпали из коробки и потеряли одну плитку 2 × 2. Вместо нее достали плитку 1 × 4. Докажите, что выложить дно коробки плитками теперь не удастся.

Задача 9: Докажите, что квадрат 6 × 6 нельзя разрезать на 11 прямоугольников 1 × 3 и один уголок из трех клеток.

Задача 10: На доске 8 × 8 в левом нижнем углу в виде квадрата 3 × 3 лежат 9 фишек. За ход разрешается какой-нибудь одной фишке перепрыгнуть через какую-нибудь другую (не обязательно соседнюю) фишку на клетку, симметричную первой фишке относительно второй (если эта клетка свободна). Можно ли после нескольких таких ходов собрать все фишки в квадрате 3 × 3 а) в левом верхнем углу доски; б) в правом верхнем углу доски?

Задача 11: Из доски 248 × 198 вырезали 1999 крестиков из пяти клеток. Докажите, что из оставшейся части можно вырезать еще один такой крестик.

Задача 12: Как раскрасить лист клетчатой бумаги в 5 цветов так, чтобы внутри любой фигуры типа А (см. рисунок) клетки были окрашены во все 5 цветов, а внутри любой фигуры типа В – не все?

Задача 13: Нарисуйте на плоскости а) 6; б) 11 одинаковых неперекрывающихся квадратов так, чтобы их нельзя было правильно раскрасить в 3 цвета. (Правильной называется раскраска, при которой любые две фигуры, имеющие общую часть границы, окрашены в разные цвета.)

Задача 14: Докажите, что доску размером 10 × 10 клеток нельзя разрезать на фигурки в форме буквы «Т», состоящей из 4-х клеток.

Задача 15: Клетчатый прямоугольник 2000 × 2001 разрезали на фигуры трех видов: , , . Какое при этом могло получится наименьшее количество фигур вида

Задача 16: Докажите, что если вершины выпуклого n-угольника лежат в узлах клетчатой бумаги, а внутри и на его сторонах других узлов нет, то n < 5.