Задача 1: Докажите, что если основание, угол при основании и сумма боковых сторон одного треугольника соответственно равны основанию, углу при основании и сумме боковых сторон другого треугольника, то эти треугольники равны.

Задача 2: а) Докажите, что по итогам однокругового турнира всегда найдутся две команды, сыгравшие одинаковое число игр вничью.

б) Докажите, что у каждого многогранника найдутся две грани с одинаковым числом сторон.

Задача 3: Первоначально на доске написано число 2. Двое играющих ходят по очереди. За один ход разрешается имеющееся число увеличить на любой его делитель, не равный самому числу. Проигрывает тот, кто первым получит число больше тысячи. Кто из игроков может выигрывать независимо от игры противника?

Задача 4: Веня утверждает, что он может покрасить квадратную доску 2001 × 2001 в 2 цвета таким образом, что любая клетка будет иметь ровно два закрашенных соседа. Вова, однако, с ни не согласен. Кого из них зря взяли в профи?

Задача 5: В треугольнике ABC проведены отрезки AD и AE, причём BD = DE = EC. Докажите, что AB + AC > AD + AE.

Задача 6: Докажите, что если цифры десятизначного числа выписать в обратном порядке, то полученное число не будет в три раза больше исходного.

Задача 7: После представления «Ревизора» состоялся следующий диалог:

1em Бобчинский: «Это вы, Петр Иванович, первый сказали «Э!». Вы сами так говорили!»

1em Добчинский: «Нет, Петр Иванович, я так не говорил. Это Вы семгу первый заказали. Вы и сказали « Э!». А у меня зуб во рту со свистом!»

1em Бобчинский: «Что я первый семгу заказал, верно. И верно, что у Вас зуб со свистом. А все-таки Вы первый сказали «Э!».

Кто первый сказал «Э!», если из девяти произнесенных фраз-утверждений чётное число верных?

Задача 8: Имеется 185 монет, из них ровно 7 фальшивых. Все настоящие монеты весят одинаково, все фальшивые монеты также весят одинаково. Фальшивая монета легче настоящей. Как за 3 взвешивания на чашечных весах без гирь отобрать 23 настоящие монеты?