Задача 1: Внутри многоугольника произвольно выбраны две точки A и B. Докажите, что найдется такая вершина P этого многоугольника, что точка B содержится внутри круга с диаметром AP.

Задача 2:

Найдите все пары натуральных чисел x и y, для которых x(x^x + y)(x^x – y^y) = 2001

Задача 3: Ожерелье пани Моники состоит из разноцветных бусинок. Моника любит выкладывать свое ожерелье на стол в форме правильного многоугольника (так, чтобы в каждой вершине находилась бусинка, а число бусинок на каждой стороне было одним и тем же). Это ей удается, когда на каждой стороне оказываются по 11, 13, 16 или 21 бусинке. Какое наименьшее число бусинок может содержать ожерелье?

Задача 4: Квадратные трехчлены P(x) и Q(x) не имеют нулевых коэффициентов и не пропорциональны друг другу. Сколько ненулевых коэффициентов после раскрытия скобок и приведения подобных членов может иметь многочлен F(u,v) = P(u)Q(v) – P(v)Q(u)?

Задача 5: Юра заявил, что он перемножил две разных пары трехзначных чисел, совокупная запись которых содержит только две различных цифры (например, 222 на 333 и 232 на 323), и оба раза получил одинаковые результаты. Павел возразил, что такого не может быть. Тогда Юра добавил, что он выполнял действия не в десятичной системе счисления. Докажите, что он все-таки ошибся.

Задача 6: Сколько граней может иметь пересечение двух параллелепипедов?