Задача 1:

x₁,x₂, … ,x_n – положительные числа, S = x₁ + x₂ +  • s + x_n. Докажите, что

Задача 2:

Докажите, что уравнение 6(6a² + 3b² + c²) = 5n² не имеет целочисленных решений, отличных от a = b = c = n = 0.

Задача 3:

A₁,A₂,A₃ – три точки на плоскости, не лежащие на одной прямой. Для удобства, положим A₄ = A₁,A₅ = A₂. При n = 1,2,3,4 B_n – середина отрезка A_nA_n + 1, а C_n – середина A_nB_n. При n = 1,2,3 прямые A_nC_n + 1 и B_nA_n + 2 пересекаются в точке D_n, а прямые A_nB_n + 1 и C_nA_n + 2 – в точке E_n. Найдите отношение площадей треугольников D₁D₂D₃ и E₁E₂E₃.

Задача 4:

S – множество, состоящее из m пар (a,b) натуральных чисел, удовлетворяющих условию 1 ≤ a < b ≤ n. Докажите, что существует по крайней мере троек чисел (a,b,c) таких, что (a,b), (a,c) и (b,c) принадлежат S.

Задача 5:

Найдите все функции f, определенные на множестве вещественных чисел, такие, что

• [(1)] f(x) строго возрастает,
• [(2)] f(x) + f ^– 1(x) = 2x для всех вещественных x,

где через f ^– 1 обозначена функция обратная к f.