Задача 1:

Стороны треугольника равны a, b и c. Пусть p – полупериметр треугольника (p = (a + b + c)/2). Строят треугольник со сторонами p – a, p – b и p – c (если возможно), затем тоже самое делают с полученным треугольником и так далее. Найдите все треугольники, для которых данный процесс может продолжаться бесконечно.

Задача 2:

Окружности с центрами в точках O₁ и O₂ касаются окружности с центром O в точках A₁ и A₂, и касаются друг друга в точке A. Докажите, что прямые AO,A₁O₁,A₂O₂ пересекаются в одной точке.

Задача 3:

Пусть n – целое число большее 3. Выберем три различных числа из множества 1,2, … ,n. Используя только эти три числа (каждое по одному разу), а также операции сложения, умножения и расставления скобок образуем все возможные арифметические выражения.

• [(1)] Докажите, что если все три выбранных числа больше n/2, то значения всех составленных выражений различны.
• [(2)] Пусть p – простое число не превосходящее . Докажите, что число способов выбрать три числа таких, что наименьшее из них равно p и значения не всех полученных выраженний различны, в точности равно количеству натуральных делителей числа p – 1.

Задача 4:

Найдите все пары чисел (h,s) такие что для любых h прямых, параллельных данной прямой l, и s прямых таких, что

• [(1)] ни одна из них не параллельна l;
• [(2)] никакие две из них не параллельны;
• [(3)] никакие три из h + s прямых не пересекаются в одной точке

количество областей на которые эти h + s прямых делят плоскость равно 1992.

Задача 5:

Найдите последовательность максимальной длины, состоящую из ненулевых целых чисел, такую, что сумма любых семи членов последовательности подряд была бы положительна, а любых одиннадцати членов подряд – отрицательна.