Задача 1: [ФРГ] Пусть p и q – натуральные числа такие, что

Докажите, что p делится на 1979.

Задача 2: [Болгария] Дана пятиугольная призма с основаниями A₁A₂A₃A₄A₅ и B₁B₂B₃B₄B₅. Все ребра оснований и все отрезки A_iB_j (i,j = 1,2,3,4,5) окрашены либо в красный, либо в зеленый цвет так, что в каждом треугольнике с вершинами в вершинах призмы, все стороны которого окрашены, есть две стороны разного цвета. Доказать, что все десять ребер оснований окрашены одинаково.

Задача 3: [СССР] На плоскости даны две пересекающиеся окружности C₁ и C₂. Пусть A – одна из точек их пересечения. Из точки A по окружностям C₁ и C₂ соответственно одновременно начинают двигаться точки M₁ и M₂. Точки движутся с постоянными скоростями в одном и том же направлении. После одного оборота обе точки одновременно возвращаются в точку A.

Доказать, что на плоскости существует неподвижная точка P такая, что расстояния от точек M₁ и M₂ до P равны в течение всего времени движения.

Задача 4: [США] Дана плоскость  α , точка P на этой плоскости и точка Q вне плоскости  α . Найти все точки R в плоскости  α , для которых отношение (|QP| + |PR|)/|QR| максимально.

Задача 5: [Израиль] Найти все вещественные числа a, для которых существуют вещественные неотрицательные числа x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, удовлетворяющие соотношениям:

Задача 6: [ФРГ] Пусть A и E – две противоположные вершины правильного восьмиугольника. В вершине A находится кенгуру. Из любой вершины восьмиугольника, кроме вершины E, кенгуру может прыгнуть в любую из двух соседних вершин. Попав в вершину E, кенгуру останавливается и остается там. Пусть a_n – количество способов, которыми кенгуру может попасть из A в E ровно за n прыжков. Доказать, что

Способом попадания за n прыжков называется последовательность вершин (P₀,P₁, … ,P_n), удовлетворяющая следующим условиям:

1) P₀ = A,

2) P_n = E,

3) для любого i, 0 ≤ i ≤ n – 1, P_i ≠ E,

4) для любого i, 0 ≤ i ≤ n – 1, P_i и P_i + 1 – соседние вершины многоугольника.