Задача 1:

Дан неравнобедренный треугольник A₁A₂A₃. Пусть a_i – его сторона, лежащая против вершины A_i (i = 1,2,3), M_i – середина стороны a_i, T_i – точка касания стороны с окружностью, вписанной в данный треугольник, и S_i – точка, симметричная T_i относительно биссектрисы угла A_i треугольника. Докажите, что прямые M₁S₁, M₂S₂, M₃S₃ имеют общую точку.

Задача 2: [СССР,А.Гришков] Рассматриваются последовательности x_n положительных чисел, удовлетворяющих условию 1 = x₀ ≥ x₁ ≥ x₂ ≥  …  ≥ x_n ≥  … 

а) Докажите, что для любой такой последовательности x_n существует n, при котором

б) Найдите такую последовательность x_n, удовлетворяющую указанному условию, для которой при любом n

Задача 3: Функция f(n) определена для всех натуральных n и принимает целые неотрицательные значения. Известно, что f(n) удовлетворяет условиям:

а) при любых m и n f(m + n) – f(m) – f(n) принимает значения 0 или 1,

б) f(2) = 0,

в) f(3) > 0,

г) f(9999) = 3333.

Найти f(1982).

Задача 4:

На диагоналях AC и CE правильного шестиугольника ABCDEF взяты точки M и N такие, что . Известно, что точки B, M и N лежат на одной окружности. Найдите k.

Задача 5:

Дано уравнение x³ – 3xy² + y³ = n. Докажите, что

а) если натуральное n таково, что данное уравнение имеет целочисленное решение, то оно имеет по меньшей мере три целочисленных решения;

б) при n = 2891 это уравнение не имеет целочисленных решений.

Задача 6:

Дан квадрат K со стороной 100. Пусть L – несамопересекающаяся незамкнутая ломаная, лежащая в K, такая, что для любой точки P границы квадрата K найдется точка ломаной L, расстояние которой от P не больше 1/2. Докажите, что на ломаной найдутся две точки X и Y, расстояние между которыми не более 1, такие, что длина части ломаной, заключенной между ними, не меньше 198.