Задача 1:

Пусть A, B, C и D – четыре различные точки на прямой, расположенные в указанном порядке. Окружности с диаметрами AC и BD пересекаются в точках X и Y. Прямые XY и BC пересекаются в точке Z. Пусть P – точка на прямой XY, отличная от Z. Прямая CP пересекает окружность с диаметром AC в точках C и M, а прямая BP пересекает окружность с диаметром BD в точках B и N. Доказать, что прямые AM, DN и XY пересекаются в одной точке.

Задача 2:

Пусть a,b,c – положительные действительные числа такие, что abc = 1. Доказать, что

Задача 3:

Найти все целые n > 3, для которых существуют n точек A₁,A₂, … A_n на плоскости и действительные числа r₁,r₂, … ,r_n удовлетворяющие следующим двум условиям:

a) никакие три точки не лежат на одной прямой;

b) для любой тройки i,j,k площадь треугольника A_iA_jA_k равна r_i + r_j + r_k.

Задача 4:

Найти наибольшее значение x₀, для которого существует последовательность положительных действительных чисел x₀,x₁, … ,x₁₉₉₅, удовлетворяющих следующим двум условиям:

a) x₀ = x₁₉₉₅

b)  при всех i = 1,2, … ,1995.

Задача 5:

Пусть ABCDEF – выпуклый шестиугольник, в котором AB = BC = CD, DE = EF = FA и  ∠ BCD =  ∠ EFA = 60. Пусть G и H – две точки внутри шестиугольника такие, что  ∠ AGB =  ∠ DHE = 120 Доказать, что AG + GB + GH + DH + HE ≥ CF.

Задача 6:

Пусть p – нечетное простое число. Найти количество подмножеств A множества 1,2, … ,2p таких, что:

a) A содержит ровно p элементов;

b) сумма вмех элементов из A делится на p.