Задача 1: Пусть f(x) — нечетная возрастающая функция. Докажите, что для любых чисел a, b и c, сумма которых равна нулю, выполнено неравенство f(a)f(b) + f(b)f(c) + f(c)f(a) ≤ 0.

Задача 2: Сколько диагоналей можно провести в выпуклом n-угольнике так, чтобы каждая пересекалась не более чем с одной другой? (Совпадение концов диагоналей пересечением не считается).

Задача 3: 1997 фишек расположены на плоскости в вершинах выпуклого 1997-угольника. За один ход можно разбить их на две группы и фишки первой группы сдвинуть на какой-нибудь вектор, а остальные фишки оставить на месте. Может ли случиться, что после а) 9; б) 10 ходов все фишки окажутся на одной прямой?

Задача 4: Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Пусть E — точка пересечения прямых AB и CD, F — точка пересечения прямых AD и BC.

а) Доказать, что все шесть описанных окружностей треугольников ABF, CDF, BEC, ADE, BOD и AOC пересекаются в некоторой общей точке K.

б) Верно ли, что точка K лежит на прямой EF, а прямые EF и OK перпендикулярны?

Задача 5: Пусть f(x) — непрерывная функция, определенная на отрезке [0;5], причем .

а) Обязательно ли существует такой отрезок [a;b] длины 2, содержащийся в отрезке [0;5], что ?

б) Докажите, что существует отрезок [a;b] длины 2 или 3, содержащийся в отрезке [0;5], что .

Задача 6: Все вершины одного куба лежат на поверхности другого. Может ли так случиться, что никакая грань первого куба не параллельна никакой грани второго?