Задача 1:

Можно ли расставить на футбольном поле четырёх футболистов так, чтобы попарные расстояния между ними равнялись 1, 2, 3, 4, 5 и 6 метров?

(А. Митягин)

Задача 2:

В некоторой стране суммарная зарплата 10 самых высокооплачиваемых работников составляет 90 зарплаты всех работников. Может ли так быть, что в каждом из регионов, на которые делится эта страна, зарплата любых 10 работников составляет не более 11 всей зарплаты, выплачиваемой в этом регионе?

(М. Вялый)

Задача 3:

Внутри угла с вершиной M отмечена точка A. Из этой точки выпустили шар, который отразился от одной стороны угла в точке B, затем от другой стороны в точке C и вернулся в A («угол падения» равен «углу отражения»). Докажите, что центр O окружности, описанной около треугольника BCM, лежит на прямой AM.

(А. Заславский)

Задача 4:

Камни лежат в трёх кучках: в одной – 51 камень, в другой – 49 камней, а в третьей – 5 камней. Разрешается объединять любые кучки в одну, а также разделять кучку из чётного количества камней на две равные. Можно ли получить 105 кучек по одному камню в каждой?

(В. Клепцын)

Задача 5:

Натуральное число N в 999 … 99 (k девяток) раз больше суммы своиx цифр. Укажите все возможные значения k и для каждого из них приведите пример такого числа.

(Г. Гальперин)

Задача 6:

Участники шахматного турнира сыграли друг с другом по одной партии. Для каждого участника A было подсчитано число набранных им очков (за победу дается 1 очко, за ничью – 1/2 очка, за поражение – 0 очков) и коэффициент силы по формуле: сумма очков тех участников, у кого A выиграл, минус сумма очков тех, кому он проиграл.

а) Могут ли коэффициенты силы всех участников быть больше 0?

б) Могут ли коэффициенты силы всех участников быть меньше 0?

(А. Толпыго)