Задача 1: (5–7) Все натуральные числа поделены на хорошие и плохие. Известно, что если число A хорошее, то и число A + 6 тоже хорошее, а если число B плохое, то и число B + 15 тоже плохое. Может ли среди первых 2000 чисел быть ровно 1000 хороших?

Задача 2: (5–7) Какое наибольшее число пешек можно поставить на шахматную доску (не более одной пешки на каждое поле), если: 1) на поле e4 пешку ставить нельзя; 2) никакие две пешки не могут стоять на полях, симметричных, относительно поля e4,?

Задача 3: (5–7) Сколько двоек будет в разложении на простые множители числа 1984!,? (Примечание: 1984! = 1 • 2 • 3 •  …  • 1984).

Задача 4: (8–9) В ряд выписаны в порядке возрастания числа, делящиеся на 9: 9, 18, 27, 36, …,. Под каждым числом этого ряда записана его сумма цифр.

а) На каком месте во втором ряду впервые встретится число 81,?

б) Что встретится раньше: четыре раза подряд число 27 или один раз число 36,?

Задача 5: (8–9) На плоскости имеется 1983 точки и окружность единичного радиуса. Доказать, что на окружности найдется точка, сумма расстояний от которой до данных точек не меньше 1983.

Задача 6: (8) На центральном телеграфе стоят разменные автоматы, которые меняют 20,коп. на 15, 2, 2 и 1; 15,коп. на 10, 2, 2 и 1; 10,коп. на 3, 3, 2 и 2. Петя разменял 1,руб. 25,коп. серебром на медь. Вася, посмотрев на результат, сказал: «Я точно знаю, какие у тебя были монеты" и назвал их. Назовите и вы.

Задача 7: (9) Две окружности пересекаются прямой l, как указано на рис. 1. Докажите, что угол ABC равен углу DEM.