Задача 1: (5–7) Бывают ли натуральные числа, произведение цифр которых равно 1986,?

Задача 2: (5–7) Найти две обыкновенные дроби — одну со знаменателем 8, другую со знаменателем 13 такие, чтобы они не были равны, но разность между большей и меньшей из них была как можно меньше.

Задача 3: (5–7) За круглым столом сидело а) 15; б) 20 человек. Они хотят пересесть так, чтобы те, кто раньше сидел рядом, теперь сидели бы через два человека. Возможно ли это?

Задача 4: (8–9) В компании из k человек (k > 3) у каждого появилась новость, известная ему одному. За один телефонный разговор двое сообщают друг другу все известные им новости. Докажите, что за 2k – 4 разговора все они могут узнать все новости.

Задача 5: (8–9) Через данную точку на плоскости проводятся всевозможные прямые, пересекающие данную окружность. Найти геометрическое место середин получившихся хорд.

Задача 6: (8–9) Известно, что a + b + c = 5 и ab + bc + ac = 5. Чему может равняться a² + b² + c²,?

Задача 7: (8–9) На плоскости отмечено 5 точек с целыми координатами. Докажите, что середина по крайней мере одного из соединяющих их отрезков также имеет целые координаты.

Задача 8: (5–7) Вершины выпуклого пятиугольника соединены через одну. Найдите сумму углов при вершинах получившейся звезды.

Задача 9: (5–7) Верно ли, что из любых 10 отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник?

Задача 10: (5–7) Квадратная площадь размером 100,м × 100,м выложена квадратными плитами 1,м × 1,м четырех цветов: белого, красного, черного и серого — так, что никакие две плиты одинакового цвета не соприкасаются друг с другом (то есть не имеют общей стороны или вершины). Сколько может быть красных плит?

Задача 11: (5–7) Отметьте несколько точек и несколько прямых так, чтобы на каждой прямой лежало ровно три отмеченные точки и через каждую точку проходило ровно три отмеченные прямые.

Задача 12: (5–7) Точку внутри квадрата соединили с вершинами — получились четыре треугольника, один из которых равнобедренный с углами при основании (стороне квадрата) 15. Докажите, что противоположный ему треугольник правильный.

Задача 13: (5–7) a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆ — последовательные стороны шестиугольника, все углы которого равны. Докажите, что a₁ – a₄ = a₃ – a₆ = a₅ – a₂.

Задача 14: (8–9) «Крокодилом" называется фигура, ход которой заключается в прыжке на клетку, в которую можно попасть сдвигом на одну клетку по вертикали или горизонтали, а затем на N клеток в перпендикулярном направлении (при N = 2 «крокодил" — это шахматный конь). При каких N «крокодил" может пройти с любой клетки бесконечной шахматной доски на любую другую?

Задача 15: (8–9) Фабрика окрашивает кубики в 6 цветов (каждую грань в свой цвет, набор цветов фиксирован). Сколько разновидностей кубиков можно изготовить?

Задача 16: (8–9) Докажите, что произведение ста последовательных натуральных чисел не может быть сотой степенью натурального числа.

Задача 17: (8–9) Из шахматной доски вырезали одну угловую клетку. На какое наименьшее число равновеликих треугольников можно разрезать эту фигуру?

Задача 18: (8–9) a, b, c, d — стороны четырехугольника (в любом порядке), S — его площадь. Докажите, что .