Задача 1: (7–8) На некотором острове 15 государств. У каждого из них хотя бы одно соседнее государство дружественное. Докажите, что найдется государство, у которого четное число дружественных соседей. Два государства называются соседними, если у них имеется целый кусок общей границы.

Задача 2: (7–8) Из квадратного листа бумаги в клетку, содержащего целое число клеток, вырезали квадрат, содержащий целое число клеток так, что осталось 124 клетки. Сколько клеток мог содержать первоначальный лист бумаги?

Задача 3: (7–8) Можно ли на плоскости нарисовать 12 окружностей так, чтобы каждая касалась ровно пяти окружностей?

Задача 4: (7–8) В таблице 10 × 10 по порядку расставлены числа от 0 до 99 (в первой строке — от 0 до 9, во второй строке — от 10 до 19 и т.д.). Затем перед каждым из чисел поставлен знак « + " или « – " так, что в каждой строке и каждом столбце оказалось по пять знаков « + " и пять знаков « – ". Чему может быть равна сумма всех чисел таблицы с учетом расставленных знаков?

Задача 5: (9–10) Дан куб 4 × 4 × 4. Расставьте в нем 16 ладей так, чтобы они не били друг друга.

Задача 6: (9–10) Вершины правильного треугольника находятся на сторонах AB, CD и EF правильного шестиугольника ABCDEF. Докажите, что они имеют общий центр.

Задача 7: (9–10) Произведение двух положительных чисел больше их суммы. Докажите, что эта сумма больше четырех.

Задача 8: (9–10) В булке за 10 копеек оказался запечен изюм двух сортов. Докажите, что внутри булки найдутся две такие точки, удаленные на расстояние 1,см, что они либо не принадлежат никаким из изюмин, либо принадлежат изюминам одного сорта.