Задача 1:

a) Найдите все функции f такие, что f(t² + t + 1) = t для всех t ≥ 0. b) Докажите, что для асех вещественных a,b,c,d,e верно неравенство a² + b² + c² + d² + e² ≥ a(b + c + d + e).

Задача 2:

a) Найдите все целые m и n для которых 2m² + n² = 2mn + 3n. b) a,b и c – натуральные числа, притом a³ делится на b, b³ – на c, а c³ – на a. Докажите, что (a + b + c)¹³ делится на abc.

Задача 3:

Равнобедренный треугольник ABC с углом при вершине  ∠ A = 30 вписан в окружность с центром O. На дуге AC взяли точку D такую, что  ∠ DOC = 30. G – точка на дуге AB такая, что DG = AC и AG < BG. Прямая DG пересекает AC и AB в точках E и F соответственно. a) Докажите, что треугольник AFG равносторонний. b) Найдите отношение площадей треугольников AFE и ABC.

Задача 4:

S – множество натуральных чисел от 1 до 10. Пусть R = r₁,r₂, … ,r_k – подмножество S, притом r₁ < r₂ <  …  < r_k. Знакопеременной суммой элементов R называется число r_k – r_k – 1 + r_k – 2 –  …  – ( – 1)^kr₁. Например, знакопеременная сумма множества 1,3,4,7 равна 7 – 4 + 3 – 1 = 5. a) Можно ли разбить S на два множества с одинаковыми знакопеременными суммами? b) Вычислите сумму знакопеременных сумм всех непустых подмножеств S.