Задача 1:

a₁/b₁ = a₂/b₂ = a₃/b₃. Докажите, что для любых p₁,p₂,p₃ не равных нулю и любого натурального n

Задача 2:

Определите, какое из следующих чисел или больше при всех c ≥ 1.

Задача 3:

Докажите, что , где a и b – катеты, а c – гипотенуза прямоугольного треугольника. Когда достигается равенство?

Задача 4:

Внутри равностороннего треугольника ABC выбрали точку P. Докажите, что , где D,E и F – основания перпендикуляров, опущенных из точки P на стороны треугольника.

Задача 5:

Докажите, что длина биссектрисы CD равна , где a = BC, а b = AC.

Задача 6:

Найдите сумму 1 • 1! + 2 • 2! + 3 • 3! +  …  + n • n!

Задача 7:

Докажите, что уравнение a² + b² – 8c = 6 не имеет решений в целых числах.

Задача 8:

Строго монотонная функция f, определенная на множестве натуральных чисел и принимающая натуральные значения удовлетворяет следующим условиям: f(2) = 2 и f(mn) = f(m)f(n) для всех m и n. Докажите, что f(n) = n.

Задача 9:

Докажите, что длина наименьшей стороны четырехугольника вписанного в окружность радиуса 1 не превосходит .

Задача 10:

Из точки P на гипотенузезе равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с катетом 1 ( ∠ C = 90) опустили перпендикуляры на стороны PQ и PR. Докажите, что по крайней мере одна площадь S_APQ, S_BPR и S_PQCR не менее 2/9.