Задача 1:

Сколькими способами можно расставить числа от 1 до n в ряд так, чтобы каждое число было бы либо больше, либо меньше всех чисел стоящих перед ним?

Задача 2:

Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника ABC равна 1. Найдите площадь треугольника A′B′C′, где точки A′,B′ и C′ симметричны A,B,C относительно сторон треугольника, противоположным данным вершинам.

Задача 3:

a₁ = 1989¹⁹⁸⁹, a_n + 1 – сумма цифр a_n. Найдите a₅.

Задача 4:

На пяти мачтах натянуты веревки, притом каждая веревка натянута на каких-то двух мачтах, и никакие две веревки не привязаны в одном месте. 5 мартышек начинают лезть, каждая по своей мачте, притом, если мартышка долезает до веревки, то переползает по ней на другую мачту, и продолжает карабкаться по ней. Докажите, что мартышки окажутся на верхушках различных мачт.

Задача 5:

Даны числа 1,2,2², … ,2^n – 1. Для произвольной перестановки этих чисел  σ  = x₁,x₂, … ,x_n обозначим s₁( σ ) = x₁,s₂( σ ) = x₁ + x₂,…s_n( σ ) = x₁ + x₂ +  …  + x_n и q( σ ) = s₁( σ )s₂( σ ) … s_n( σ ). Найдите  ∑ 1/q( σ ), где сумма берется по всем перестановкам.