Задача 1:

Докажите, что уравнение x² + y⁵ = z³ имеет бесконечно много решений в ненулевых целых числах.

Задача 2: Пусть n – фиксированное натуральное число. Найдите сумму всех натуральных чисел, в двоичная записи которых ровно n единиц и ровно n нулей.

Задача 3: Пусть C – окружность, а P – некоторая точка плоскости. Каждая прямая, проходящая через P и пересекающая C, определяет некоторую хорду. Докажите, что середины всех таких хорд лежат на одной окружности.

Задача 4: Из множества 0,1,2, … ,14 надо выбрать десять чисел и заполнить ими круги на диаграмме. При этом все абсолютные значения разностей чисел, оказавшихся на концах каждого отрезка должны быть попарно различны. Возможно ли это?

Задача 5: На рисунке сторона большого равностороннего треугольника равна 3, а f(3), количество параллелограммов со сторонами, идущими по линиям, равно 15. По аналогии рассматривая более общую ситуацию, найдите формулу для f(n), количества параллалограммов для треугольника со стороной n.