Задача 1:

Пусть . Вычислите сумму

Задача 2:

a, b и c – положительные вещественные числа. Докажите, что

Задача 3:

Бумерангом назовем четырехугольник без самопересечений, один из углов которого больше 180 градусов. Выпуклый s-угольник замостили q непересекающимися четырехугольниками, b из которых – бумеранги. Докажите, что .

Задача 4:

n – некоторое натуральное число. Докажите, что для любого неотрицательного целого k уравнение

имеет бесконечно много решений в натуральных числах x_i и y.

Задача 5:

Пусть u – вещественное число такое, что 0 < u < 1. Положим

и определим рекуррентно последовательность u_n:

Докажите, что существует такое k, что u_k = 0.