Задача 1:

a) В ряд записано 5 различных чисел. Верно ли, что всегда можно выбрать из них 3 стоящих по возрастанию или по убыванию? b) Тот же вопрос для выборки 4 чисел из 9.

Задача 2:

Задача 3:

Докажите, что среднее арифметическое всех делителей числа n лежит между и .

Задача 4:

Найдите отношение длин сторон треугольника, если известно, что вписанная окружность делит одну из его медиан на три равные части.

Задача 5:

Функция f задана на отрезке [0,1] и принимает на нем неотрицательные значения. Известно, что f(1) = 1 и для любых x₁,x₂ ∈ [0,1], если x₁ + x₂ ≤ 1, то f(x₁ + x₂) ≥ f(x₁) + f(x₂). a) Докажите, что f(x) ≤ 2x для всех x. b) Верно ли, что f(x) ≤ 1,9x для всех x?