Задача 1:

Вещественные числа  α  и  β  удовлетворяют уравнениям:

Найдите  α  +  β 

Задача 2:

Натуральное число n называется хорошим если оно может быть единственным образом записано одновременно в виде суммы и произведения чисел a₁,a₂, … ,a_k (например 10 – хорошее число, поскольку 10 = 5 + 2 + 1 + 1 + 1 = 5 • 2 • 1 • 1 • 1). Опишите в терминах простых чисел все хорошие натуральные числа.

Задача 3:

Прямая l касается окружности S в точке A. B и C – точки на l лежащие по разные стороны от A. Касательные, проведенные из точек B и C к S пересекаются в точке P. найдите геометрическое место точек P при B и C меняющихся по прямой l при условии |AC| • |AB| = x, где x – некоторое положительное вещественное число.

Задача 4:

Для многочлена f(x) = a₀ + a₁x +  • s + a_n – 1xⁿ с вещественными коэффициентами выполнено условие |f(0)| = f(1) и все его корни лежат в интервале (0,1). Докажите, что произведение корней не превосходит 1/2ⁿ.

Задача 5:

Для комплексного числа z = x + iy (x,y – вещественные) через P(z) обозначим точку плоскости (x,y). Пусть z₁,z₂,z₃,z₄,z₅, α  – не равные нулю комплексные числа такие, что

• [(1)] P(z_i) – вершины выпуклого пятиугольника, содержащего начало координат;
• [(2)] все точки P( α z_i) находятся внутри этого пятиугольника.

Докажите, что если  α  = p + iq, где p и q вещественные числа, то

Задача 6:

Дано пять точек на плоскости с целочисленными координатами. Докажите, что среди этих пяти точек найдутся две – P и Q такие, что середина отрезка PQ имеет также целочисленные координаты.

Задача 7:

a₁,a₂, … ,a_n,b₁,b₂, … ,b_n – 2n вещественных чисел, притом все числа a_i – различны. Существует такое вещественное число  α  такое, что для любого i (a_i + b₁)(a_i + b₂) … (a_i + b_n) =  α  Докажите, что существует такое  β , что для любого j (a₁ + b_j)(a₂ + b_j) … (a_n + b_j) =  β .

Задача 8:

Обозначим через  – биномиальный коэффициент (количество способов выбрать k предметов из n). Положим и при k > n. Докажите равенство:

Задача 9:

x – вещественное число из интервала (0, π ). Докажите, что дл любого натурального n следующая сумма положительна:

Задача 10:

(a) Прямоугольник PQRS со сторонами |PQ| = l, |QR| = m, где m и n – натуральные числа, разделили на lm квадратиков 1 × 1 прямыми параллельными сторонам. Докажите, что диагональ PR пересекает l + m – d квадратиков, где d – наибольший общий делитель m и l.(b) Прямоугольный параллелепипед, ребра которого равны натуральным числам l,m и n разделили на lmn единичных кубиков. Сколько этих кубиков пересекает диагональ соединяющая вершину параллелепипеда с наиболее удаленной от нее?