Задача 1:

Докажите, что если x – вещественное число не равное нулю, то

Задача 2:

Расстояния внутренняя точка равностороннего треугольника P до трёх его вершин равно 3, 4 и 5 соответственно. Найдите площадь треугольника.

Задача 3:

Докажите, что число, запись которого в десятичной системе счисления выглядит как , не может быть точным кубом. Найдите наименьшее число b > 1 такое, что в системе счисления с основанием b найдётся точный куб вида .

Задача 4:

Докажите, что круг радиуса 2 может быть покрыт семью (возможно перекрывающимися) кругами радиуса 1.

Задача 5:

Докажите, что если x² – x – целое число, и при некотором n ≥ 3 xⁿ – x – целое число, то x – также целое число.

Задача 6:

Найдите все натуральные числа n, у которых ровно 16 натуральных делителей 1 = d₁ < d₂ <  …  < d₁₆ = n, d₆ = 18, а d₉ – d₈ = 17.

Задача 7: Докажите, что для любых положительных вещественных чисел a, b и c

и

Задача 8:

a) Докажите, что множество всех натуральных чисел может быть представлено в виде объединения трёх попарно непересекающихся подмножеств так, что если , а |m – n| =  2, или 5, то m и n попадут в разные подмножества.

б) Докажите, что может быть представлено в виде объединения четырёх попарно непересекающихся подмножеств так, что если , а |m – n| =  2, 3 или 5, то m и n попадут в разные подмножества. Докажите также, что представить в виде объединения трёх непересекающихся подмножеств, обладающих этим свойством, нельзя.

Задача 9: Последовательность вещественных чисел x_n определена рекурсивно следующим образом: x₀ и x₁ – произвольные вещественные числа, а

Найдите x₁₉₉₈.

Задача 10: В треугольнике ABC длины всех трёх сторон – натуральные числа,  ∠ A = 2 ∠ B,  ∠ C > 90. Найдите минимальную возможную длину периметра.