Задача 1:

На собрание приехал 201 человек из 5 стран. Среди каждых 6 из них найдется двое одинакового возраста. Докажите, что из некоторой страны на собрание приехало не менее 5 человек одного пола и одного возраста.

Задача 2:

Записан следующий арифметический треугольник:

Каждое число в треугольнике равно сумме двух стоящих над ним (таким образом в каждом последующем ряду на одно число меньше чем в предыдущем и последний ряд содержит всего лишь одно число). Докажите, что число, стоящее в последнем ряду делится на 1993

Задача 3:

Докажите, что в произвольном треугольнике диаметр вписанной ок-руж-ности не превосходит радиуса описанной окружности.

Задача 4:

Докажите, что для любого простого числа p отличного от 2 и 5 существует бесконечно много чисел делящихся на p десятичная запись которых содержит только единицы (111 … 1).

Задача 5:

Рассмотрим 16 точек, образующих следующую решетку:

Выделим две точки – A и D. Из всех возможных пар точек на этой решетке рассмотрим такие, которые вместе с точками A,D образуют четверку точек, для которых все 6 попарных расстояний различны.

1) Сколько существует всего таких фигур?

2) Сколько из этих фигур неравных (в геометрическом смысле)?

3) Пусть каждая точка задана координатами (X_i,Y_i). Докажите, что сумма по всем шести парам точек |X_i – X_j| + |Y_i – Y_j| не зависит от выбора четверки точек с вышеупомянутыми свойствами.

Задача 6:

На рисунке изображен игральный автомат в казино. В начале игры в точке S появляется шарик. С каждым ходом игрока, шарик случайным образом перекатывается в одну из соседних точек, при этом в любой соседней точке он может оказаться с равной вероятностью. Игра заканчивается в случае если шарик обратно вернется в S, и тогда игрок проигрывает, или шарик окажется в точке G, и тогда игрок выигрывает. Найдите вероятность победы игрока и ожидаемое время игры.