Задача 1:

Рассмотрим множество A, состоящее из 100 натуральных чисел, такое, что для любых трех a, b, c из A (не обязательно различных) треугольник, длины сторон которого равны a, b и c не являетс тупоугольным. S(A) – сумма периметров всех таких треугольников со сторонами из A. Найдите минимальное значение S(A).

Задача 2:

Вырежем из бумаги несколько кругов (возможно разного радиуса) и положим их на стол так, что некоторые из них будут налагаться друг на друга, но никакой из кругов не будет полностью содержаться в другом. Затем от каждого круга отрежем ту часть, которая не пересекается с другими кругами. Докажите, что из всех отрезанных кусков нельзя сложить несколько кругов так, чтобы ни одного куска не осталось.

Задача 3:

Через точку G – центр тяжести треугольника ABC, проведем прямую, которая пересекает стороны AB и AC в точках P и Q соответственно. Докажите, что

Задача 4:

p – простое число. Найдите все целочисленные решения уравнения: p • (x + y) = x • y.

Задача 5:

Уравнени x³ + mx – n = 0 и nx² – 2m²x² – 5mnx – 2m³ – n² = 0 (n ≠ 0) имеют общий корень. Докажите, что тогда первое уравнение имеет два равных корня, и найдите корни обеих уравнений как функцию от n.

Задача 6:

AB – фиксированный отрезок, C – произвольная точка внутри него. Построим два равносторонних треугольника ACB′ и CBA′ в одной полуплоскости относительно прямой AB и равносторонний треугольник ABC′ в другой полуплоскости. Докажите, что:

1) Прямые AA′, BB′ и CC′ пересекаются в одной точке (обозначим эту точку P);

2) Найдите геометрическое место точек P, когда C меняетс внутри отрезка AB;

3) Центры трех треугольников A″,B″,C″ являются вершинами равностороннего треугольника;

4) Точки A″,B″,C″,P лежат на одной окружности.