Задача 1:

Докажите, что система уравнений

не имеет решений в целых числах.

Задача 2:

Последовательность функций f₁,f₂, …  задана соотношениями:

Для каждого положительного n решите уравнение f_n(x) = 1.

Задача 3:

Через точку A внутри окружности с центром O провели хорду PQ отличную от диаметра. Прямые p и q касаются окружности в точках P и Q соответственно, и прямая l, проходящая через точку A перпендикулярно OA, пересекает p и q в точках K и L. Докажите, что |AK| = |AL|.

Задача 4:

Докажите, что если a, b и c – длины сторон треугольника, то

Задача 5:

Докажите, что если все три корня многочлена x³ + ax² + bx + c различны, то различными будут и корни многочлена x³ + ax² + ¼(a² + b)x + ⅛(ab – c).

Задача 6:

Непрерывная функция f обладает следующим свойством: для любого вещественного x существует такое n, что f  f   • s  f(x) = 1. Докажите, что f(1) = 1.

Задача 7:

Дан выпуклый четырехугольник ABCD на сторонах которого внешним образом построены подобные треугольники APB, BQC, CRD и DSA так, что

Четырехугольник PQRS – параллелограмм. Докажите, что ABCD тоже параллелограмм.

Задача 8:

a,b и c – три целых числа таких, что a³ делится на b, b³ делится на c, а c³ делится на a. Докажите, что (a + b + c)¹³ делится на abc.

Задача 9:

На конференцию приехало 2n человек каждый из которых знаком не менее чем с n остальными. Докажите, что участников так можно расселить в двухместные номера, чтобы в каждом номере жили знакомые друг с другом люди.

Задача 10:

p и q два положительных числа и p + q = 1. Докажите, что для всех натуральных m и n (1 – p^m)ⁿ + (1 – qⁿ)^m ≥ 1.

Задача 11:

Пусть r и R – радиусы окружности вписанной в треугольник периметра 2p и окружности описанной вокруг него. Докажите, что p < 2(R + r).

Задача 12:

Докажите, что суммы противоположных двугранных углов в тетраэдре равны тогда и только тогда, когда равны суммы длин противоположных сторон.