Задача 1:

Верно ли, что каждый многочлен с целыми коэффициентами можно представить в виде суммы кубов многочленов с целыми коэффициентами?

Задача 2:

Окружность с центром в точке O, вписанная в выпуклый четырехугольник ABCD, касается его сторон AB, BC, CD и DA в точках K, L, M и N соответственно. Прямые KL и MN не параллельны и пересекаются в точке S. Докажите, что BD ⊥ OS.

Задача 3:

Докажите, что если a,b,c ≥ 3/4 и a + b + c = 1, то

Задача 4:

a₁,a₂, … ,a₉₉ – последовательность цифр. Притом, если a_n = 1, то a_n + 1 ≠ 2, а если a_n = 3, то a_n + 1 ≠ 4. Докажите, что существуют такие два различных натуральных числа k и l не превосходящие 98, что a_k = a_l и a_k + 1 = a_l + 1.

Задача 5:

Найдите все целочисленные решения уравнени x²(y – 1) + y²(x – 1) = 1.

Задача 6:

Докажите, что расстояние от произвольной точки внутри параллелепипеда со сторонами a, b, c до какой-то из его вершин не превосходит