Задача 1:

Найдите все пары (n,r), где n – натуральное число, а r – вещественное, для которых многочлен (x + 1)ⁿ – r делится нацело на 2x² + 2x + 1.

Задача 2:

Внутри треугольника ABC взяли точку P такую, что  ∠ PBC =  ∠ PCA <  ∠ PAB. Прямая BP пересекает окружность описанную вокруг треугольника ABC в точках B и E. Окружность описанная вокруг треугольника APE пересекается с прямой CE в точках E и F. Докажите, что точки A, P, E и F являются последовательными вершинами четырехугольника и отношение площади четырехугольника APEF к площади треугольника ABP не зависит от выбора точки P.

Задача 3:

Дано натуральное число n ≥ 2 и положительные числа a₁,a₂, … ,a_n, сумма которых равна 1.

(1) Докажите, что для любых положительных x₁,x₂, … ,x_n, сумма которых равна 1 верно неравенство:

(2) Найдите все такие наборы x₁,x₂, … ,x_n для которых предыдущее неравенство превращается в равенство.

Задача 4:

В тетраэдре ABCD  ∠ BAC =  ∠ ACD и  ∠ ABD =  ∠ BCD. Докажите, что длины ребер AB и CD равны.

Задача 5:

Для натурального k через p(k) обозначим наименьшее простое число не являющееся делителем k. Если p(k) > 2, то определим q(k) как произведение всех простых чисел меньших p(k), а если p(k) = 2, то q(k) = 1. Рассмотрим последовательность x_n:

Найдите все n для которых x_n = 111\,111.

Задача 6:

Из всех перестановок f множества 1,2, … ,n, которые удовлетворяют условию f(i) ≥ i – 1 при i = 1,2, … ,n, выберем наугад одну. Обозначим через p_n вероятность того, что выбранная перестановка g удовлетворяет неравенству g(i) ≤ i + 1 при i = 1,2, … ,n. Найдите все n для которых p_n > 1/3.