Задача 1:

Решите систему уравнений:

Задача 2:

Внутри параллелограмма ABCD выбрали точку P такую, что  ∠ ABP =  ∠ ADP. Докажите, что  ∠ PAB =  ∠ PCB.

Задача 3:

Докажите, что для любых вещественных чисел a,b ≥ 1, c ≥ 0 и для любого натурального n(ab + c)ⁿ – c ≤ ((b + c)ⁿ – c)aⁿ.

Задача 4:

Докажите, что натуральное число n ≥ 2 составное тогда и только тогда, когда существуют такие натуральные числа a, b, x, y, что a + b = n и

Задача 5:

Бисектриссы углов A, B, C треугольника ABC пересекают противоположные стороны в точках D, E, F, а описанную окружность – в точках K, L и M соответственно. Докажите, что AD/DK + BE/EL + CF/FM ≥ 9.

Задача 6:

Многочлен P(x) степени n удовлетворяет следующим условиям: P(k) = k ^– 1 при k = 1,2,4,8, … ,2ⁿ. Найдите P(0).

Задача 7:

Найдите точную верхнюю границу объемов тетраэдров, содержащихся в данном шаре, одно из ребер которого совпадает с диаметром шара.

Задача 8:

a_n – число всех подмножеств множества 1,2, … ,6n, сумма элементов которых дает остаток 5 при делении на 6, а b_n – число всех подмножеств множества 1,2, … ,7n, сумма элементов которых дает остаток 5 при делении на 7. Найдите отношение a_n/b_n.

Задача 9:

Найдите все функции f:\;[1, ∞ ) → [1, ∞ ) которые удовлетворяют следующим двум условиям:

(1) для всех x ≥ 1;

(2) функция g(x) = f(x)/x ограничена.

Задача 10:

Внутри остроугольного треугольника ABC взяли точки P и Q такие, что  ∠ ACP =  ∠ BCQ и  ∠ CAP =  ∠ BAQ. Точки D, E и F – ортогональные проекции точки P на прямые BC, CA и AB соответственно. Докажите, что угол DEF прямой тогда и только тогда, когда точка Q является ортоцентром треугольника BDF.

Задача 11:

Дано натуральное число m и отличный от нуля многочлен P(x) с целыми коэффициентами. Докажите что если P(x) имеет по крайней мере три различных целых корня, то многочлен P(x) + 5^m имеет по крайней мере один целый корень.

Задача 12:

На протяжении нескольких дней, ежедневно, трое из группы в n человек обедали вместе. Притом за это время каждые двое пообедали вместе ровно по одному разу. Докажите, что n дает остаток 1 или 3 при делении на 6.