Задача 1:

Для любого вещественного a найдите число упорядоченных троек вещественных чисел (x,y,z), которые удовлетворяют системе уравнений:

Задача 2:

Внутри треугольника ABC выбрали точку P такую, что  ∠ PBA =  ∠ PCA = ⅓( ∠ ABC +  ∠ ACB). Докажите, что

Задача 3:

Дано n точек (n ≥ 2) на плоскости никакие три из которых не лежат на одной прямой. Каждые две точки соединили отрезками. Определите наименьшее количество цветов в которые можно покрасить эти отрезки так, чтобы любые два отрезка имеющие выходящие из одной точки были бы покрашены в разные цвета.

Задача 4:

Найдите все тройки натуральных чисел обладающие следующим свойством: произведение любых двух чисел дает остаток 1 при делении на третье.

Задача 5:

Кидают k белых и m черных костей. Найдите вероятность того, что сумма очков выпавших на белых костях дает такой же остаток при делении на 7 как и сумма очков выпавшая на черных костях.

Задача 6:

В кубе со стороной 1 выбрали 8 точек. Докажите, что какие-то две точки являются сторонами отрезка длины не более 1.