Задача 1:

Натуральные числа x₁,x₂, … ,x₇ удовлетворяют условиям: x₆ = 144 и x_n + 3 = x_n + 2(x_n + 1 + x_n) при n = 1,2,3,4. Найдите x₇.

Задача 2:

Найдите все тройки вещественных чисел x,y,z которые удовлетворяют системе уравнений:

Задача 3:

Медианы боковых граней ABD, ACD и BCD пирамиды ABCD проведенные из вершины D образуют равные углы с ребрами к которым они проведены. Докажите, что площадь каждой боковой грани меньше суммы площадей остальных боковых граней.

Задача 4:

Последовательность a₁,a₂, …  задана равенствами: a₁ = 0, a_n = a_[n/2] + ( – 1)^n(n + 1)/2 при n > 1. Для каждого целого k ≥ 0 определите количество таких чисел n, что 2^k ≤ n ≤ 2^k + 1 и a_n = 0.

Задача 5:

В выпуклом пятиугольнике ABCDE углы DCB и DEA прямые, а DC = DE. на отрезке AB взяли точку F такую, что AF:BF = AE:BC. Докажите, что  ∠ FCE =  ∠ ADE и  ∠ FEC =  ∠ BDC.

Задача 6:

На окружности радиуса 1 взяли n различных точек. Пусть q – количество отрезков с концами в этих точках длина которых больше . Докажите, что 3q ≤ n²