Задача 1: Верно ли, что любое положительное рациональное число можно представить в виде , где числа a,b,c,d – натуральные?

Задача 2: D – точка пересечения биссектрисы угла A треугольника ABC с его описанной окружностью. K и L – ортогональные проекции точек B и C на прямую AD. Докажите, что AD ≥ BK + CL.

Задача 3: В клетках доски n × n записано n² различных натуральных чисел. В каждом столбце клетку, содержащую максимальное число покрасили в красный цвет. На доску поставили n не бьющих друг друга ладей, притом оказалось, что сумма чисел в клетках, на которых они стоят максимальна (по отношению к остальным таким расстановкам). Докажите, что по крайней мере одна ладья стоит на красной клетке.

Задача 4: I – центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямые BI и CI пересекают стороны AC и AB в точках D и E соответственно. Известно, что AB ≠ AC. Найдите все возможные значения угла BAC для которых может выполняться равенство DI = EI.

Задача 5: Существует ли функция такая, что f(f(n)) = 2n для любого n.

Задача 6: w – квадратный трехчлен с целыми коэффициентами. Все значения w в целых точках – квадраты целых чисел. Докажите, что w – квадрат некоторого многочлена.