Задача 1:

Найти наименьшее A, при котором для любых двух квадратов общей площади 1 найдется такой прямоугольник площади A, в котором можно разместить без наложения указанные квадраты. Можно считать, что стороны квадратов параллельны сторонам прямоугольника.

Задача 2:

Радиусы двух окружностей соответственно 1 и 3, расстояние между центрами окружностей – 10. Найти геометрическое место середин отрезков, соединяющих точки данных окружностей.

Задача 3:

В школе работает 6 кружков. Каждый из 20 учеников класса может посещать любое количество кружков – от 0 до 6. Верно ли, что обязательно найдутся такие 5 учеников и такие 2 кружка, что все пятеро либо посещают оба кружка, либо не посещают ни один из этих двух кружков?

Задача 4:

Пусть S – множество упорядоченных троек (a,b,c) различных элементов конечного множества A. Выполняются следующие условия:

1. ;
2. ;
3. .

Доказать, что существует такая функция , что из двойного неравенства g(a) < g(b) < g(c) следует: (a,b,c) ∈ S.

Задача 5:

Пусть p – простое число, большее 3, k = [2p/3]. Доказать, что сумма биномиальных коэффициентов делится на p².

Задача 6:

Пусть . Опишите множество всех непрерывных функций таких, что .