Задача 1: Пусть s(x) есть расстояние между числом x и ближайшим к нему целым числом. Для произвольного натурального n вычислить

Задача 2:

Пусть f — дважды дифференцируемая функция, для которой f″(x) + f(x) =  – xg(x)f′(x), где g(x) ≥ 0 при всех x. Доказать, что функция f(x) ограничена.

Задача 3: Для каждого натурального n запишем сумму в виде  α _n/ β _n, где  α _n и  β _n – взаимно простые числа. Найти все n, при которых  β _n не делится на 5.

Задача 4:

(1 + x + x²)^m. Докажите, что для всех целых k ≥ 0

Задача 5:

Докажите, что для n ≥ 2

Задача 6: Разбиение треугольника со сторонами длиной 3, 4, 5 его средними линиями на 4 части имеет диаметр 5/2. Найти наименьший диаметр разбиения этого треугольника на 4 части. (Диаметр разбиения – это точная верхняя грань расстояний между точками из одной части разбиения).